La moneda efectúa un
movimiento rectilíneo, mientras que la regla efectúa un
movimiento circular puesto que uno de sus extremos está fijo.
En realidad, si nos fijamos en el centro de masa de la regla,
vemos que su aceleración lineal debería ser inferior a la de
la gravedad. Esto se debe a que la regla no cae libremente, ya
que está sujeta en uno de sus extremos. No obstante, el extremo
de la varilla se encuentra a una distancia doble del centro de
masa, por lo que evidentemente, la aceleración lineal será
doble. El hecho de si llega a ser mayor que la aceleración de
la gravedad, o no, depende de cómo esté distribuida la masa a
lo largo de la regla (lo cual viene indicado por el momento de
inercia), por lo que tendremos que hacer un estudio algo más
profundo.
Por ello, tendremos que tener en cuenta que la gravedad actuará
sobre el centro de masa produciendo un par de fuerzas M que,
escalarmente, será M=(L/2)*F
(donde L es la longitud de la regla y F=m*g su peso. Se toma
L/2, ya que
consideramos la regla con densidad uniforme, por lo que su
centro de masa se hallará a la mitad de distancia de esta).
No obstante, por la segunda
ley de Newton aplicada al movimiento circular, este par de
fuerzas será igual al momento de inercia I multiplicado por su
aceleración angular, alfa: M=I*alfa (en el caso de una varilla
uniforme _que
gira sobre su extremo_, tenemos que I=(1/3)*m*(L^2) )
Igualando ambas ecuaciones para el par de fuerzas, sustituyendo
el momento de inercia y despejando la aceleración angular alfa,
obtenemos
(L/2)*m*g=I*alfa
(L/2)*m*g=(1/3)*m*(L^2)* alfa
alfa=(3/2)*(g/L)
Ahora bien, para poder comparar ambas aceleraciones (la de la
moneda, que es g, y la del extremo de la varilla), tendremos que
ver qué aceleración lineal tiene el extremo de la varilla en
el momento en que empieza a caer. Esto se obtiene multiplicando
por la distancia a dicho extremo, que es la longitud L, por lo
que finalmente vemos que la varilla tiene una aceleración
a=(3/2)*g.
Efectivamente, la varilla acelera un 50% más que la moneda.
Efectivamente, comprobamos que la aceleración lineal del centro
de masa de la regla es inferior a g, al empezar a caer:
Multiplicando la aceleración angular alfa por la distancia del
eje de giro al centro de masa, L/2, obtenemos a=(3/4)*g.
Podríamos hacer el mismo experimento con un martillo, colocando
la moneda en la cabeza de éste. Si consideramos que el mango de
madera del martillo tiene una masa despreciable respecto a la de
su cabeza metálica, tendremos que su momento de inercia es
aproximadamente I=m*L^2 (el de una masa puntual a distancia L
del eje de giro). El centro de masa ya no se encontraría a
distancia L/2, sino a distancia L, por lo que al rehacer los cálculos
veríamos que, como era de esperar, la cabeza del martillo
empieza a caer con la aceleración de la gravedad, y de este
modo, la moneda no se despegaría de éste.
A no ser que encontremos una
regla muy larga y un martillo con un mango también muy largo, a
la hora de realizar ambos experimentos para comprobar nuestras
suposiciones, veremos cierta dificultad a la hora de decidir cuándo
la moneda se despega de la regla, y cuándo no. La mejor forma
de saberlo sin tener una máquina fotográfica o una cámara de
vídeo a mano es tener en cuenta que si se despega, tras chocar
la regla con la mesa la moneda chocará contra ésta, emitiendo
un sonido característico. Si no se despega, aquélla
simplemente se deslizará, por lo que no oiremos nada.
He hecho especial énfasis en que hablamos de la aceleración
_cuando empieza a caer_, ya que cuando el peso no sea
perpendicular a la varilla, habrá que multiplicar por el coseno
del ángulo que se ha desplazado ésta, ya que de dicho peso únicamente
contribuirá al movimiento la componente angular. En cuanto el
ángulo sea igual a arccos(2/3), el extremo acelerará con
aceleración a=g, y será inferior a partir de ese momento. Sin
embargo, esto no se apreciará en el experimento propuesto, ya
que arccos(2/3)=48º, ángulo suficientemente grande como pare
que la regla choque antes contra la mesa. En el caso del
martillo, la aceleración a comenzará a ser inferior desde el
instante posterior al que comienza a caer.
Realizad los experimentos vosotros mismos, y os convenceréis de
que la forma de la regla, y la manera en que ésta tiene su masa
distribuida a lo largo de la misma, hacen que curiosamente el
extremo vaya más rápido que la moneda, a pesar de que su
centro de masa vaya más lento.